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수학교육철학에서의 관계적 수학과 도구적 수학 논의
1. 이해한다의 개념
Skemp(1987)는 「수학」이라는 똑같은 이름 아래 가르쳐 지는 전혀 다른 두 과목이 있다고 주장한다. 관계적 이해를 중심으로 가르쳐지는 관계적 수학과 도구적 이해를 중심으로 가르쳐지는 도구적 수학이 그것이다.
그는 흔히 이해한다라고 할 때의 그 이해를 다음과 같이 세 가지로 나눈다.
1) 관계적 이해(Relation understanding)
: 무엇을 해야 할지, 그리고 왜 그런지를 모두 아는 것으로, 일반적인 수학적 관계에서 특수한 공식이나 과정을 연역하는 능력이다. 일반적으로 우리가 흔히 이해한다라고 할 때 쓰는 말이다.
2) 도구적 이해(Instrumental understanding)
: 공식이 왜 그렇게 되었는지 알지 못하고 문제 해결에 적당히 기억된 공식을 적용하는 능력을 말한다. 흔히 학교수학 교육현장에서 이것을 <이해>라고 생각하고 있다.
3) 논리적 이해(Formal or logical understanding)
: i) 주어진 가정과 ii) 공리나 정리와 같이 이미 참이라고 확인된 수학 지식을 적절히 선택하여 <논리적 필요>에 따라 추론고리(A chain of inference)를 기술하는 것을 보여 줄 수 있는…(생략)
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을 알아낼 수 있다. 그러나 도구적 이해로 어떤 특정한 모양의 넓이를 구하는 공식을 아는 경우, 다른 모양의 넓이를 구하기 위해서는 반드시 새로운 공식이 주어져야 하며, 학생 스스로 배운 내용을 적용할 수 없다.
둘째, 관계적 수학은 기억하기 쉽다.
아무런 이해 없이 공식을 단순히 외우는 것과 개념간의 관계를 이해하면서 외운 공식 또는 방법이 훨씬 기억하기 쉽다.
셋째, 관계적 지식은 그 자체가 목적이 될 수 있다.
도구적인 지식은 어떤 문제를 해결하기 위한 수단으로 사용될 수 있지만 그 자체가 목적이 될 수는 없다. 그러나 관계적 지식은 어떤 수학적 내용을 관계적으로 이해하고 있는 그 자체가 수학을 가르치고 배우는 목적이 될 수 있다.
넷째, 관계적 수학은 유기적이다.
다시 말하자면, 살아서 움직이는 지식이다. 살아 있는 식물이 자신의 뿌리를 뻗어서 양분을 흡수하듯이 관계적 지식은 스스로 확장하고 성장하려는 성질을 가지고 있다.
관계적 이해가 도구적 이해에 비해 본질적인 장점을 가지고 있음에도 불구하고 도구적인 수학을 가르치는 이유는 많이 있다.
?관계적 이해를 시키려면 시간이 많이 소요되고,
?가르쳐야 하는 양이 너무 많으며,
?어떤 특정한 내용은 관계적으로 이해하기에는 너무 어려우며,
?관계적으로 이해했는지 여부를 평가하기가 어려우며(학급당 인원이 너무 많음)
?시험이 도구적으로 출제되기 때문에 도구적으로 가르쳐야 하고,
?관계적으로 이해시키기 어려운 내용인데 다른 교과서에서 그에 대한 기능을 요구하며,
?해당교사가 초임인 경우 다른 선배교사들이 도구적으로 가르치는데 혼자 관계적으로 가르치기 어려우며,
?도구적으로 가르치던 것을 관계적으로 가르치려는 경우, 교사는 심리적인 관성의 법칙에 의해서 심한 갈등을 느낀다.
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